Bonjour, pouvez m'aidez en math merci pour tout

Réponse :

Q1)  f(x) = (4 x² + x + 2)/x

la droite d'équation y = 2 x + 5 est tangente à Cf au point d'abscisse 1

f '(x) = [(8x + 1) x - (4 x² + x + 2)]/x² = (4 x² + 2)/x²

f '(1) = a = 6   (coefficient directeur ou taux d'accroissement)

or la droite y = 2 x + 5 a pour coefficient directeur 2

Donc y = 2 x + 5 n'est pas tangente à Cf au point d'abscisse 1

Donc cette proposition est fausse  

Q2) f(x) = 3 x⁴ - 8 x³ + 12 admet deux tangentes horizontales

          f '(x) = 12 x³ - 24 x² = 0 ⇔ 12 x²( x - 2) = 0

⇒ 12 x² = 0 ⇒ x = 0   ⇒ f(0) = 12  ⇒ (0 ; 12)

⇒ x - 2 = 0 ⇒ x = 2   ⇒ f(2) = 140 ⇒ (2 ; 140)

la courbe Cf admet deux tangentes horizontales

donc la proposition est vraie

Q3) f(x) = - 4 x² + 6 x + 10)/(x - 2)  est positive sur ]- ∞ ; - 2[

          Δ = 36 + 160 = 196 ⇒ √196  = 14

x1 = - 6 + 14)/- 8 = - 1

x2 = - 6 - 14/- 8 = 5/2

x                          - ∞                   - 1               2             5/2                + ∞          

- 4 x² + 6 x + 10                -           0                +              0         -                    

x - 2                                  -                             ||        +                 +

Q                                       +           0               ||         +     0         -

f(x) > 0  sur ]- ∞ ; - [   ⇒ donc  f(x) > 0  sur ]- ∞ ; - 2[

Donc la proposition est vraie

Q4) sur ]0 ; + ∞[   la droite y = x est toujours au dessus de la courbe

       d'équation y = (x³ + x - 7)/x²

      (x³ + x - 7)/x² - x  < 0 ⇔ (x³ + x - 7 - x³)/x² < 0 ⇔ (x - 7)/x² < 0

or  x ∈]0 ; + ∞[ ⇔ x > 0 ⇒ x² > 0 (x² est toujours positif)

x - 7 < 0 ⇒ x < 7  

x        0                        7                     + ∞

x- 7                 -            0             +

f(x) - y < 0  sur ]0 ; 7[  La droite est au dessus de Cf

f(x) - y > 0    //  ]7 ; + ∞[ //    //       //   en dessous de Cf

donc la droite y = x  n'est pas toujours au dessus de la courbe Cf

donc la proposition est fausse

Q5) sur ]1 ; + ∞[ le minimum de f est égal à 27/4

            f(x) = x³/(x - 1)²

            f '(x) = (3 x²(x - 1)² - 2(x-1) x³)/(x-1)⁴ = (x⁴ - 4 x³ + 3 x²)/(x - 1)⁴

f '(x) = 0 = x⁴ - 4 x³ + 3 x² = x²(x² - 4 x + 3) = 0

x = 0  ⇒ f(0) = 0

x² - 4 x + 3 = 0

Δ = 16 - 12 = 4 ⇒ √4 = 2

x1 = 4 + 2)/2 = 3  ⇒ f(3) = 3³/4 = 27/4

x2 = 4 - 2)/2 = 1  n'est pas solution  car 1 est exclu  sur ]1 ; + ∞[  

le minimum de la fonction est est 0

donc proposition fausse

Q6) la courbe d'équation y = x³/3 + x + 2 admet une seule tangente // à la droite y = 4 x - 7

si la courbe admet une seule tangente ⇔ la courbe possède un seul point d'intersection

       x³/3 + x + 2 = 4 x - 7 ⇔ x³/3 + x + 2 - 4 x + 7 = 0

⇔ x³/3 - 3 x + 9 = 0  

     Δ = 9 - 4 *9*1/3 = - 3 < 0 pas de solution

donc la courbe n'admet aucune tangente avec y = 4 x - 7

Explications étape par étape