Bonjour Je n'arrive pas à répondre à la question 2) de ce devoir maison de 2nd qui porte sur les nombres premiers de mersenne. Je pense que cette affirmation es

Bonjour ;

Supposons que Mn est premier et n non premier ;

donc il existe deux nombres nombres entiers naturels superieurs

strictement à 1 tels que : n = pq .

On a donc : Mn = 2^n - 1 = 2^(pq) - 1 = (2^p)^q - 1

= ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) x (2^p - 1) .

Comme p est strictement supérieur à 1 alors 2^p - 1 ≥ 3 .

Supposons que ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) = 1 ;

alors on a : (2^p)^q - 1 = 2^p - 1 ;

donc : 2^(pq) = 2^p ;

donc : 2^(pq - p) = 1 ;

donc : pq - p = 0 ;

donc : p(q - 1) = 0 ; ce qui absurde car p et q sont strictement

supérieurs à 1 ; donc ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) > 1 .

De plus ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) est la somme des q + 1 termes

de la suite géométrique (v_n) de premier terme v_0 = 1

et de raison q = 2^p ; donc ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) est un nombre

entier naturel .

Les deux derniers résultats nous permettent d'affirmer que

((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) est un nombre entier naturel suérieur

strictement à 1 .

Conclusion .

Mn = = ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) x (2^p - 1) est le produit de deux

nombres entiers naturels supérieurs strictement à 1 ; donc Mn

n'est pas un nombre premier , ce qui contredit notre le fait que

Mn est un nombre premier , donc notre supposition que n est

non premier est fausse , donc si Mn est premier alors n est premier .