Suites Voilà l’enonce : Soit (Un) une suite strictement positive, c’est à dire telle que , pour tout n€N, on a Un>0. Montrer la propriété suivante, •si pour tou
Question
Voilà l’enonce :
Soit (Un) une suite strictement positive, c’est à dire telle que , pour tout n€N, on a Un>0.
Montrer la propriété suivante,
•si pour tout n€N, on a Un+1/Un>1 alors la suite (Un) est croissante
•si pour tout n€N, on a Un+1/Un<1 alors la suite (Un) est decroissante
Je comprends rien merci par avance à celui qui m’aide
1 Réponse
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1. Réponse godetcyril
Réponse : Bonsoir,
1) Montrons que pour tout n entier naturel, [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} > 1[/tex], alors la suite [tex](U_{n})[/tex] est croissante.
On a:
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} > 1\\\frac{U_{n+1}}{U_{n}}-1 > 0\\\frac{U_{n+1}-U_{n}}{U_{n}} > 0\\U_{n} > 0 \quad donc \; \; U_{n+1}-U_{n} > 0 \; et \; donc \; U_{n} < U_{n+1}[/tex].
On a montré que pour tout n, [tex]U_{n} \leq U_{n+1}[/tex], donc la suite [tex](U_{n})[/tex] est croissante.
2) Montrons que pour tout n entier naturel, [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} < 1[/tex], alors la suite [tex](U_{n})[/tex] est décroissante.
On a:
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} < 1\\\frac{U_{n+1}}{U_{n}}-1 < 0\\\frac{U_{n+1}-U_{n}}{U_{n}} < 0\\U_{n} > 0 \; donc \; U_{n+1}-U_{n} < 0 \; et \; donc \; U_{n+1} < U_{n}[/tex].
On a montré que pour tout entier naturel n, [tex]U_{n+1} < U_{n}[/tex], la suite [tex](U_{n})[/tex] est donc décroissante.