Un éleveur de moutons souhaite clôturer une partie de son champ pour faire paître ses moutons. Il dispose pour cela d'une longueur de 200 m de clôture. Il n'a q

On cherche dans quel cas l'aire d'un rectangle de 200 m de périmètre est la plus grande

longueur du rectangle L

largeur du rectangle l

             l'aire vaut a = L x l    (1)

            le périmètre est 200 = (L + l) /2    (2)

on tire l de (2)    l = 100 - L

 et on porte dans (1)  a(L) = L (100 - L)

                                    a(L) = - L² + 100 L

dans la fonction a(L) le coefficient de L² est négatif. Elle est représentée par une parabole tournée vers le bas. Cette fonction sera maximum pour la valeur de L qui annule la dérivée

                                   a'(L) = -2L + 100

                                     - 2L + 100 = 0

                                             L  = 50

lorsque la longueur vaut 50 la largeur vaut aussi 50 et ce rectangle est un carré.

A périmètre constant l'aire d'un rectangle est maximale lorsque celui-ci est un carré.