bonjours svp aidez moi pour cette question U0 = 3 et Un+1 = (4Un-2) / Un + 1 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un est supérieur à 2.

Réponse : Bonsoir,

Initialisation: Pour n=0, [tex]U_{0}=3 > 2[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]U_{n} > 2[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, donc que [tex]U_{n+1} > 2[/tex].

On remarque que [tex]U_{n+1}=f(U_{n})[/tex], avec f(x)=[tex]\frac{4x-2}{x+1}[/tex].

Étudions les variations de f.

Pour cela, on calcule la dérivée f':

[tex]f'(x)=\frac{4(x+1)-1(4x-2)}{(x+1)^{2}}=\frac{4x+4-4x+2}{(x+1)^{2}}=\frac{6}{(x+1)^{2}}[/tex].

On remarque pour tout [tex]x \ne 1, f'(x) \geq 0[/tex], on a donc le tableau de variations suivant:

x            -∞                                 -1                                           +∞

f'(x)                          +                 ║                        +

f(x)              (croissant)              ║          (croissant)

D'après l'hypothèse de récurrence:

[tex]U_{n} > 2\\f(U_{n}) > f(2) \quad car \; f \; est \; croissante\\U_{n+1} > 2[/tex].

La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]U_{n} > 2[/tex].