Bonjour est ce que vous pouvez m'aidez pour mon dm de math svp je suis en terminal s et je ne comprends absolument rien cest pour demain. Merci bcp d'avance

Réponse :

f(x)=e^(2x)+2e^(x)+x²-4x+5

Explications étape par étape

1)conjecture AM est minimale quand M a pour coordonnées (0;1)

c'est à dire (0;e^0)

2-a)f'(x)=2e^(2x)+2e^(x)+2x-4

b)f"(x)=4e^(2x)+2e^(x)+2

c) on note que f"(x) est toujours> 0 donc la fonction f'(x) est croissante sur R

limites de la fonction f'(x)

si x tend vers -oo f'(x) tend vers -oo

si x tend vers +oo f'(x) tend vers +oo  

D'après le TVI f'(x)=0 admet une et une seule solution qui est x=0 (solution évidente).

Tableau de signes de f"(x) et de variation de f'(x)

x   -oo                                0                                           +oo

f"(x)....................+..........................................+.........................

f'(x)-oo...........croi..................0..................croi....................+oo

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      -oo                               0                                       +oo

f'(x).....................-......................0.....................+........................

f(x)+oo............décroi.............f(0)..............croi...................+oo

f(0)=8.

les limites de f(x) sont faciles à calculer sans calculette

si xtend vers-oo f(x) tend vers 0+0+(-oo²)-4(-oo)+5=+oo

si x tend vers +oo , -4x est devient négligeable devant les fonctions e^x en +oo (croissance comparées) donc f(x) tend vers+oo

3-a) AM=rac[(xM-xA)²+(yM-yA)²]

AM=rac[(x-2)²+(e^x +1)²]=rac(x²-4x+4+e^2x+2e^x+1] (identités remarquables)

AM=rac[e^(2x)+2e^(x) +x²-4x+5]=rac[f(x)]

b) la fonction f(x) est définie sur R est la valeur de f(x) est toujours >0 par conséquent la fonction rac[f(x)] est définie sur R et varie comme f(x)

c)La valeur minimale de AM est donc rac8 =2rac2 (diagonale d'un carré de côté 2) Coordonnées de M(0; 1)