bonjour, je ne comprends pas l’exercice 3 est ce que vous pouvez m’aider merci d’avance

Réponse:

l'objectif est de montrer que √a - √b est negatif.

on sait que a< b donc a-b < 0

on va écrire différemment √a - √b grâce à son expression conjuguée √a + √b.

(√a + √b)

√a - √b = (√a - √b) × -------------------

(√a + √b)

La fraction ayant les mêmes numérateur et denominateur, elle vaut 1. Multiplier par 1 ne change pas la valeur initiale.

L'intérêt est de faire apparaitre la 3e identité remarquable au numerateur :

(√a - √b) × (√a + √b) ← 3e identité remarquable (x-y)(x+y)= x²-y²

√a - √b = ----------------------------------

(√a + √b)

√a² - √b²

√a - √b = ----------------------------------

(√a + √b)

a - b

√a - √b = ----------------------------------

(√a + √b)

Et d'apres l'hypothese de depart a-b < 0 et √a + √b > 0 car des racines carrees sont des nombres positifs.

Donc le quotient ci-dessus est toujours negatif.

On vient donc de montrer que √a - √b < 0

c'est a dire √a < √b

on a a < b et √a < √b . L'ordre entre 2 nombres et leur image par la fonction racine carrée est conservé donc la fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[