Bonsoir pourriez vous m’aider pour cette exercice c’est un vrai ou faux mais il faut justifier. Merci infiniment aux personnes qui on prit le temps de lire Et b

Réponse : Bonsoir,

a) Comme la suite u converge, alors [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=l[/tex], avec [tex]l[/tex] un nombre réel et:

[tex]\lim_{n \mapsto +\infty} v_{n}=\frac{l}{1+l} \quad l \ne 1[/tex].

La limite de [tex](v_{n})[/tex] est donc finie, donc la suite v converge.

La proposition est donc VRAIE.

b) La suite u est croissante alors pour tout entier naturel n, [tex]u_{n+1}-u_{n} \geq 0[/tex].

On étudie le signe de [tex]v_{n+1}-v_{n}[/tex]:

[tex]v_{n+1}-v_{n}=\frac{u_{n+1}}{1+u_{n+1}}-\frac{u_{n}}{1+u_{n}}=\frac{u_{n+1}(1+u_{n})-u_{n}(1+u_{n+1})}{(1+u_{n+1})(1+u_{n})}\\v_{n+1}-v_{n}=\frac{u_{n+1}+u_{n+1}u_{n}-u_{n}-u_{n}u_{n+1}}{(1+u_{n+1})(1+u_{n})}=\frac{u_{n+1}-u_{n}}{(1+u_{n+1})(1+u_{n})}\\1+u_{n+1} > 0, \; 1+u_{n} > 0, \; car \; la\; suite \; u \; est \; a \; termes \; positifs\\u_{n+1}-u_{n} \geq 0, \; car \; la \; suite \; u \; est \; croissante\\Donc \; v_{n+1}-v_{n} \geq 0, \; la\; suite \; v \; est \; croissante[/tex].

La proposition est donc VRAIE.

c) FAUX.

Contre-exemple, on pose [tex]u_{n}=n[/tex], alors:

[tex]v_{n}=\frac{n}{1+n}=\frac{n}{n(\frac{1}{n}+1)}=\frac{1}{\frac{1}{n}+1}\\Donc \; \lim_{n \mapsto +\infty} v_{n}=\lim_{n \mapsto +\infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+1}=1\\La \; suite \; v \; converge \; vers \; 1.\\Mais \; \lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=\lim_{n \mapsto +\infty} n=+\infty\\La \; suite \; u \; diverge[/tex].

On a donc trouvé un contre-exemple où la suite v converge mais la suite u diverge.