Bonjour, j’ai un DM à faire pour mardi. J’ai déjà fait le reste du DM mais je n’arrive pas à faire cet exercice, je ne comprends pas . Pourriez-vous m’aider svp

Réponse :

a) démontrer que  A = 1/2(bc sin (^BAC)

soit H le projeté orthogonal de B sur (AC)

le triangle ABH est rectangle en H

sin (^BAC) = BH/AB ⇒ BH = AB x sin (^BAC)

l'aire du triangle ABC  est :  A = 1/2(BH x AC) = 1/2( AB x sin (^BAC) x AC)

A = 1/2(AB x AC x sin (^BAC)

or AB = c et AC = b

d'où  A = 1/2(bc x sin (^BAC))

b) proposer deux autres expressions de l'aire A

soit le triangle BCH rectangle en H

sin (^BCA) = BH/BC ⇒ BH = BC x sin (^BCA)

A = 1/2(BH x AC) = 1/2(BC x AC x sin (^BCA))

or BC = a  et AC = b

d'où A = 1/2(ab x sin (^BCA))

soit  H' le projeté orthogonal de A sur (BC)

le triangle ABH' est rectangle en H'

sin (^ABC) = AH'/AB ⇒ AH' = AB x sin (^ABC)

A = 1/2(BH' x BC) = 1/2(AB x BC x sin (^ABC)

   = 1/2(ac x sin (^ABC))

 c) en déduire l'égalité

a/sin (^BAC) = b/sin (^ABC) = c/sin (^BCA)

BH = c x sin (^BAC)

BH = a x sin (^BCA)

⇔ c x sin (^BAC) = a x sin (^BCA)  ⇔ a/sin (^BAC) = c/sin (^BCA)

AH' =  c x sin (^ABC)

AH' = b x sin (^BCA)

⇔ c x sin (^ABC) = b x sin (^BCA) ⇔ b/sin(^ABC) = c/sin (^BCA)

donc  a/sin (^BAC) = b/sin(^ABC) = c/sin (^BCA)

Explications étape par étape