Bonjour j’ai un devoir de mathématiques à rendre pour lundi cela fait plusieurs heures que je suis bloqué sur une question si quelqu’un pourrait m’aider ce sera

Réponse : Bonjour,

Pour tout entier naturel n, n < n+2, donc [tex]U_{n}=\frac{n}{n+2} \leq 1[/tex].

Étudions la monotonie de la suite [tex](U_{n})[/tex]:

[tex]U_{n+1}-U_{n}=\frac{n+1}{n+3}-\frac{n}{n+2}=\frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{n^{2}+2n+n+2-n^{2}-3n}{(n+3)(n+2)}\\U_{n+1}-U_{n}=\frac{2}{(n+3)(n+2)} \geq 0[/tex].

[tex]U_{n+1}-U_{n} \geq 0[/tex], donc la suite [tex](U_{n})[/tex] est croissante.

La suite [tex](U_{n})[/tex] est croissante et majorée, elle est donc convergente vers une limite [tex]l[/tex].

Comme [tex]\displaystyle U_{n}=f(n) \; avec \; f(n)=\frac{n}{n+2}\\ Alors \; \lim_{n \mapsto +\infty} U_{n}=\lim_{n \mapsto +\infty} f(n)\\\displaystyle\lim_{n \mapsto +\infty} f(n)=\lim_{n \mapsto +\infty} \frac{n}{n+2}=\lim_{n \mapsto +\infty} \frac{n}{n(1+\frac{2}{n})}=\lim_{n \mapsto +\infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1\\Donc \; \lim_{n \mapsto +\infty} U_{n}=1[/tex]