Bonjour à tous, J’ai un exercice de maths de terminale S à faire et je suis bloquée, je n’arrive pas à terminer les questions... Soit (Vn) la suite définie par
Question
J’ai un exercice de maths de terminale S à faire et je suis bloquée, je n’arrive pas à terminer les questions...
Soit (Vn) la suite définie par V0=0,1 et v(n+1) = racine carrée de vn
1) je dois démontrer par récurrence que la suite est croissante. Je dois donc montrer que v(n+1) >v(n) mais je n’arrive pas...
2) démontrer que la suite est majorée : j’ai trouvé qu’elle était majorée par 1 mais ne sais pas comment le démontrer...
3)en déduire qu’elle est convergente et déterminer sa limite : sa limite est 1 mais je ne sais pas comment le rédiger... et je ne suis même pas sure de mon résultat : c’est normal que sa limite soit également son majorant ?
Merci énormément à ceux qui pourront m’aider, même sur une des questions. Je suis perdue...bonne journée à vous !
1 Réponse
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1. Réponse tommmylot
Edit : je crois que ca a buggué en fait sqrt() signifie racine carré
Question 1 :
Alors tu sais comment raisonné par récurrence :
en premier tu appelle Pn la propriété que tu veux démontrer, puis tu montre qu'elle est vraie pour le rang le plus petit (la c'est 0 car c'est dis dans l'énoncé) donc tu démontres P0 : c'est l'initialisation.
donc tu démontre que
V0 est supérieur à V1
donc V0 = 0.1 et V1 = \sqrt{0.1}
et tu démontres que \sqrt{0.1} > 0.1
Initialisation tèrminée maintenant tu dois démontrer l'hérédité donc
tu suppose Pn vraie et tu démontres que Pn+1 est vraie donc
tu pars de ton hypothèse de récurrence (Vn+1>Vn)
Vn+1> Vn
\sqrt{Vn+1} > \sqrt{Vn} [tu prends la racine de chaque coté]
Vn+2 > Vn+1
donc comme t'as démontré que c'était vraie au rang d'après tu sais que Pn est vraie. 1ere question terminer !
Question 2 :
Ici ca sera du inferieur ou égal pas strictement
tu poses Pn' une autre propriété qui dit Vn < 1 (tu fais comme a la question1)
tu démontres que V0 < 1
puis tu supposes Pn' vraie donc Vn < 1
puis tu prends la racine de chaque coté donc Vn+1 < \sqrt{1} => donc 1
Question 3 :
Pour le rédiger tu peux marquer :
On a démontré question 1 et Question 2 que Vn est une suite croissante et majorée or on sait d'après le cour qu'une suite majorée et croissante est une suite convergente c'est a dire qu'elle possède une limite finie.
on nomme l sa limite :
si Vn a pour limite l alors Comme Vn+1 est un rang au dessus Vn+1 a également pour limite l donc
on sait d'après l'énoncé que Vn+1 = \sqrt{Vn}
donc si on remplace par leur limite on a
l = \sqrt{l}
l² = l (tu prend le carré pour enlevé la racine)
l = 1 (tu divise par l de chaque coté de l'équation)
donc la limite de Vn = 1
Bonne journée