Bonjour, je dois démontrer que la racine carrée de 2 est irrationnelle en supposant que c’est rationnel

Réponse :

démonstration par l'absurde

on suppose que √2 est rationnel, donc on peut l'écrire sous une fraction irréductible  √2 = a/b

donc √2² = (a/b)²  donc  2 = a²/b²  donc a² = 2 b²

donc a² est pair donc a est pair  donc il existe un nombre entier a' tel que

a = 2 a'  donc  a² = 4 a'²   or a² = 2 b²

⇒ 2 b² = 4 a'² ⇒ b² = 2 a'²  donc  b est pair , donc il existe un nombre b' tel que b = 2 b'   donc la fraction a/b = 2 a'/2 b'  est une fraction qui n'est pas irréductible, il y a une contraction avec l'hypothèse de départ qui suppose que la fraction est irréductible et que √2 est rationnel

en conclusion  donc  √2 est bien un nombre irrationnel    

Explications étape par étape