Je n'arrive pas cette exercice qui peux m'aider.Merci a celui qui m'aidera. Soit (un) une suite définie pour tout entier naturel n non nul par: u1=1/2 et un+1
Question
Soit (un) une suite définie pour tout entier naturel n non nul par: u1=1/2 et un+1=(n+1/2n)*un
1.Calculer u2 u3 et u4
2.a)Démontrer par récurrence que,pour tout entier naturel n no nul,un est strictement positif.
b)En déduire que la suite(un) est décroissante.
3.Pour tout entier naturel n non nul,on pose: vn=un/n
a)Démontrer que la suite(vn) est géométrique.On précisera sa raison et son premier terme de rang 1.
b)En déduire l'éxpression de un en fonction de n
1 Réponse
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1. Réponse aymanemaysae
Bonjour ;
1.
u_2 = (1 + 1)/2 x 1/2 = 1/2 .
u_3 = (2 + 1)/(2 x 2) x 1/2 = 3/4 x 1/2 = 3/8 .
u_4 = (3 + 1)/(2 x 3) x 3/8 = 4/6 x 3/8 = 12/48 = 1/4 .
2.
a.
Initialisation .
On a : u_1 = 1/2 > 0 .
Hérédité .
Soit n ∈ IN* .
Supposons qu'on a : u_n > 0 .
On a : u_(n + 1) = ((n + 1)/(2n)) u_n .
Comme n ∈ IN* alors (n + 1)/(2n) > 0 ;
donc : ((n + 1)/(2n)) u_n > 0 ;
donc : u_(n + 1) > 0 .
Conclusion .
Pour tout nombre entier naturel non nul , on a : u_n > 0 .
b.
u_(n + 1) - u_n = ((n + 1)/(2n)) u_n - u_n
= ((n + 1)/(2n) - 1) u_n
= ((n +1 - 2n)/(2n)) u_n
= ((1 - n)/(2n)) u_n .
Pour tout n nombre entier naturel superieur strictement à 1 ,
on a : 1 - n < 0 ;
donc : ((1 - n)/(2n)) u_n < 0 ;
donc : u_(n + 1) - u_n < 0 ;
donc : la suite (u_n) est strictement décroissante .
3.
a.
v_(n + 1) = (u_(n + 1))/(n + 1) = (((n + 1)/(2n)) u_n)/(n + 1)
= (1/(2n)) u_n = 1/2 x (u_n)/n = 1/2 v_n ;
donc la suite (v_n) est une suite géométrique de raison
q = 1/2 et de premier terme v_1 = (u_1)/1 = u_1 = 1/2 .
b.
Pour tout n nombre entier naturel non nul ,
on a : v_n = (1/2) x (1/2)^(n - 1) = (1/2)^n = 1/(2^n) ;
donc : u_n = n x v_n = n x 1/(2^n) = n/(2^n) .