ABC est un triangle équilatéral de côté 1. H est le pied de la hauteur issue de A. 1) a- Donner la mesure de l’angle ABH. Expliquer pourquoi cos60 = 1/2 b- En d

Bonjour ;

1.

a.

Le triangle ABC est équilatéral , donc ses angles aux sommets

valent tous 60°  .

Le triangle ABC est équilatéral , donc sa hauteur isuue de A

est aussi la médiatrice de son côté opposé au sommet A ;

donc on a : HB = HC = BC/2 = 1/2 .

Le triangle ABH est rectangle en H donc on a : cos(B) = BH/BA  ;

donc cos(60°) = (1/2)/1 = 1/2 .

b.

Le triangle ABH est rectangle en H , donc en appliquant le

théorème de Pythagore , on a : AH² = AB² - BH² = 1 - (1/2)²

= 1 - 1/4 = 3/4 ; donc : AH = √(3/4) = (√3)/2 .

On a : sin(B) = AH/AB ;

donc : sin(60°) = ((√3)/2)/1 = (√3)/2 .

On a : tan(B) = sin(60°)/cos(60°) ;

donc : tan(60°) = ((√3)/2)/(1/2) = √3 .

2.

a.

Considérons le triangle BHA rectangle en H ,

donc on a : (angle HBA) + (angle BHA) + (angle BAH) = 180 ° ;

donc : 60° + 90° + (angle BAH) = 180 ° ;

donc : 150° + (angle BAH) = 180 ° ;

donc : (angle BAH) = 30° .

On a : sin(BAH) = BH/AB ;

donc : sin(30°) = (1/2)/1 = 1/2 .

b.

On a : cos(BAH) = AH/AB ;

donc : cos(30°) = ((√3)/2)/1 = √3/2 .

tan(BAH) = BH/AH ;

donc : tan(30°) = (1/2)/(√3/2) = 1/(√3) = (√3)/3 .