bonjour, j'ai réussi la question 1 et 2, mais je n'arrive pas à la question n°3, pouvez vous m'aider s'il vous plaît?

Réponse : Bonjour,

2) x est point fixe d'une fonction affine f(x)=ax+b, avec a et b réels si:

[tex]ax+b=x\\ax-x=-b\\x(a-1)=b\\x=\frac{b}{a-1}[/tex].

Si a=1, l'expression précédente n'est pas définie, pour tout b, donc la fonction affine y=x+b, pour tout b, n'a pas de point fixe.

Donc, par exemple, la fonction affine y=x+1, n'a pas de point fixe.

3) Il faut montrer que [tex]f(\frac{p}{1-m})=\frac{p}{1-m}[/tex], on a:

[tex]f(\frac{p}{1-m})=m(\frac{p}{1-m})+p\\f(\frac{p}{1-m})=\frac{mp+p(1-m)}{1-m}=\frac{mp+p-mp}{1-m}=\frac{p}{1-m}[/tex].

Donc [tex]\frac{p}{1-m}[/tex] est un point fixe de f.