Salut, je n'arrive vraiment 0as à faire l'exercice 1 de mon DM qui repose sur les fonctions du polynôme du second degrés. Pouvez vous m'aidez ? ​

Réponse :

P(x) = a x² + b x + c

1) montrer que sa forme canonique est:

   P(x) = a(x+b/2a)² - b²/4a  + c

P(x) = a(x - α)² + β

α = - b/2a

β = f(-b/2a) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c

                  =   b²/4a - b²/2a  + c

                  = b²/4a - 2b²/4a + c

                  = - b²/4a  + c

donc P(x) = a(x + b/2a)² - b²/4a + c

2) a) déterminer l'image de 0

             P(0) = 3

    b) en déduire la valeur de c

               P(0) = 3 = c

     c) déterminer les antécédents de 0

               P(x) = 0 ⇒ x = - 1 ; x = 3

      d) en déduire P(-1) = 0  puis que b = a + 3

               P(- 1) = 0 = a - b + 3  ⇒ b = a +3

      e) en déduire P(3) = 0  puis b = - 1 - 3a

               P(3) = 0 = 9 a + 3 b + 3  ⇔ 3(3 a + b + 1) = 0

⇔ 3 a + b + 1 = 0 ⇒ b = - 1 - 3 a

       f) déterminer a puis b

           a + 3 = - 1 - 3 a ⇔ 4 a = - 4 ⇒ a = - 1

          b = - 1 + 3 = 2  

        g) écrire P(x) sous sa forme développée et sous sa forme canonique

                  P(x) = - x² + 2 x + 3

                  P(x) = - (x - 1)² + 4  

Explications étape par étape