Bonsoir, je cherche quelqu’un pour m’aider sur l’exercice 2 s’il vous plaît merci d’avance.

Réponse :

P(x) = 0.5 x² - 0.5 x + c   où c ∈ R

1) discuter, suivant les valeurs de c, du nombre de solutions réelles de l'équation P(x) = 0

   P(x) = 0.5 x² - 0.5 x + c = 0

Δ = 0.25 - 2 c

si Δ > 0 ⇔ 0.25 - 2 c > 0 ⇔ 0.25 > 2 c ⇒ c < 0.25/2 = 0.125

lorsque  c ∈ ]- ∞ ; 0.125[  alors  P(x)  possède deux solutions distinctes

si Δ = 0 ⇔ c = 0.125 alors P(x) possède une seule solution  x = - b/2a = 0.5

si Δ < 0 ⇔ c ∈ ]0.125 ; + ∞[ alors P(x) n'a pas de solutions

2) on suppose c = - 1

a) résoudre dans R l'équation P(x) = 0 et l'inéquation P(x) < 0

P(x) = 0 = 0.5 x² - 0.5 x - 1   ⇔ 0.5(x² - x - 2) = 0 ⇔ x² - x - 2 = 0

⇔ (x - 2)(x+1) = 0  produit de facteurs nul

x - 2 = 0 ⇒ x = 2 ou x+1 = 0 ⇒ x = - 1

P(x) < 0 ⇔ (x-2)(x+1) < 0

x        - ∞                 - 1                    2                    + ∞

x-2                -                     -           0            +

x+1                 -           0        +                         +

P(x)               +             0       -            0            +

L'ensemble des solution de P(x) < 0  est :   S = ]- 1  ; 2[

b) déterminer la forme canonique de P et en déduire son tableau de variation

 P(x) = 0.5 x - 0.5 x - 1

la forme canonique de P(x) = a(x - α)² + β

a = 0.5

α = - b/2a = 0.5/1 = 0.5

β = f(0.5) = 0.5(0.5)² - 0.5*0.5 - 1

               = 0.125 - 0.25 - 1  = - 1.125

P(x) = 0.5(x-0.5)² - 1.125

Tableau de variation

x       - ∞                            0.5                         + ∞

P(x)   + ∞ →→→→→→→→→→ - 1.125 →→→→→→→→→ + ∞  

               décroissante              croissante

3) a) vérifier que, ∀x ∈R, P(x+1) - P(x) = x

          0.5 (x+ 1)² - 0.5 (x+1) + c  - (0.5 x² - 0.5 x + c)

           0.5(x² + 2 x + 1) - 0.5 x - 0.5 + c - 0.5 x² + 0.5 x - c

            0.5 x² + x + 0.5 - 0.5 x - 0.5 + c - 0.5 x² + 0.5 x - c

            = x

b) montrer que, pour tout entier naturel non nul n on a;

     P(n+1) -P(1) = 1 + 2 + 3 + ....+ n

 0.5(n+1)² - 0.5(n+1) + c  - 0.5 + 0.5 - c

  0.5(n²+2n + 1) - 0.5 n - 0.5

  = 0.5 n² + n + 0.5 - 0.5 n - 0.5

  = 0.5 n² + 0.5 n

  = 0.5 n(n+1)

pour n = 1 , 2, 3, ...n  on obtient  la somme suivante  

P(n+1) -P(1) = 1 + 2 + 3 +  .... + n

c) on en déduite que 1 + 2 +3 + ...+ n = 1/2 n(n+1)

Explications étape par étape