Bonjour, (entraînement contrôle) J'ai besoin d'aide pour le 1) j'ai déjà fait le 2) au brouillon. merci d'avance​

Réponse : Bonsoir,

1) Il faut procéder par récurrence.

Initialisation: A l'ordre n=1.

[tex]\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1\\\frac{1(1+1)(1+2)}{6}=\frac{3 \times 2}{6}=\frac{6}{6}=1[/tex].

Donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=1.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, et montrons là à l'ordre n+1.

On a:

[tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k(k+1)}{2}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}\\Hypothese \; de \; recurrence: \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\\\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}\\\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}[/tex].

La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout n entier naturel:

[tex]\sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex].