Mathématiques

Question

Bonjour je demande de l'aide ici car je n'ai pas compris mon exercice de math .

Voici l'exercice :

On considère la suite (Un) définie par : un = 3^n/2n+1 .

a: Simplifier l'expression : (un+1/un)-1

b: En deduire les variations de la suite (un) .

Il y a l'exercice en photo ( Je demande juste le 1 j'essayerai le 2 seul )

Merci pour votre aide d'avance .

Bonjour je demande de l'aide ici car je n'ai pas compris mon exercice de math . Voici l'exercice : On considère la suite (Un) définie par : un = 3^n/2n+1 . a: S

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1 Réponse

  • Bonjour;

    1.

    a.

    On a :

    [tex]u_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}}{2(n+1)+1}=\dfrac{3^{n+1}}{2n+3}\ ;[/tex]

    donc :

    [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{3^{n+1}}{2n+3} \times\dfrac{2n+1}{3^n}=3\times\dfrac{2n+1}{2n+3}=\dfrac{6n+3}{2n+3}\ ;[/tex]

    donc :

    [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1=\dfrac{6n+2}{2n+3}-1=\dfrac{6n+3-2n-3}{2n+3}=\dfrac{4n}{2n+3}\ .[/tex]

    b.

    [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1=\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_{n}}=\dfrac{4n}{2n+3}\ ;[/tex]

    comme u_n et (4n)/(2n+ 3) sont strictement positifs pour n ∈ IN* ;

    donc u_{n + 1} - u_n est strictement positif pour n ∈ IN* ;

    donc (u_n) est strictement croissante pour n ∈ IN* .

    2.

    a.

    On a :

    [tex]v_{n+1}=\dfrac{1 - (n+1)}{1+(n+1)}=-\dfrac{n}{n+2}\ ;\\ \\\\donc\ :\ v_{n+1}-v_n=-\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{1-n}{1+n}=-\dfrac{n(n+1)+(n+2)(1-n)}{(n+2)(1+n)}\\\\\\=-\dfrac{n^2+n+n-n^2+2-2n}{(n+2)(1+n)}=-\dfrac{2}{(n+2)(1+n)}\ .[/tex]

    b.

    On a : - 2/((n + 2)(1 + n)) < 0 pour n ∈ IN ;

    donc : pour tout n ∈ IN , v_{n + 1} - v_n < 0 ;

    donc : (v_n) est strictement décroissante .

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