Bonsoir , je dois prouver par le calcul qu’une suite est arithmétique de raison=1/4 mais je ne sais pas comment pas faire , merci de votre aide , bonne soirée :

Réponse : Bonsoir,

[tex]\displaystyle V_{n+1}=\frac{1}{U_{n+1}-1}=\frac{1}{\frac{5U_{n}-1}{U_{n}+3}-1}=\frac{1}{\frac{5U_{n}-1-(U_{n}+3)}{U_{n}+3}}\\\\V_{n+1}=\frac{1}{\frac{5U_{n}-1-U_{n}-3}{U_{n}+3}}=\frac{1}{\frac{4U_{n}-4}{U_{n}+3}}=\frac{U_{n}+3}{4U_{n}-4}=\frac{U_{n}+3}{4(U_{n}-1)}\\[/tex].

[tex]\displaystyle V_{n+1}-V_{n}=\frac{U_{n}+3}{4(U_{n}-1)}-\frac{1}{U_{n}-1}=\frac{U_{n}+3-4}{4(U_{n}-1)}=\frac{U_{n}-1}{4(U_{n}-1)}=\frac{1}{4}[/tex].

[tex]V_{n+1}-V_{n}=1[/tex] donc [tex](V_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison r=1.

Donc [tex](V_{n})[/tex] n'est pas une suite arithmétique de raison [tex]\frac{1}{4}[/tex] mais de raison 1.

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

[tex]u_n=\dfrac{5u_n-1}{u_n+3} \\\\v_n=\dfrac{1}{u_n-1} \\\\v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}-1} \\\\=\dfrac{1}{\dfrac{5u_n-1}{u_n+3} -1} \\\\=\dfrac{u_n+3}{5u_n-1-u_n-3} \\\\=\dfrac{1}{4} \dfrac{u_n+3}{u_n-1}\\\\=\dfrac{1}{4} (\dfrac{u_n-1}{u_n-1}+\dfrac{4}{u_n-1})\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{1}{4} +v_n[/tex]