bjr , qui peut m' aider a resolu ce problème il faut montrer par absurde que √(n/n+2) est irrationnel (avec n est un entier) mercis avance

Bonjour ;

Supposons que √(n/(n + 2)) est un nombre rationnel ;

donc il existe p et q deux nombres entiers naturels non nuls

tels que : √(n/(n + 2)) = p/q , avec p et q sont premiers entre-eux .

De plus , on a : 0 < p < q car n/(n + 2) < 1 .

On a donc : n/(n + 2) = p²/q² ;

donc : nq² = (n + 2)p² = np² + 2p² ;

donc : n(q² - p²) = 2p² > 0 car 0 < p < q implique 0 < p² < q²

c - à - d q² - p² > 0 .

En finon a : n = (2p²)/(q² - p²) .

Montrons que p² et q² - p² sont premiers entre-eux .

Supposons qu'ils ne sont pas premiers entre-eux ,

donc leur PGCD u est supérieur ou égal à 2 ;

donc p² = r u et q² - p² = s u avec r et s deux nombres

entiers naturels non nuls premiers entre-eux ;

donc : q² = s u + p² = s u + r u = (s + r)u ;

donc : q² et p² sont tous les deux divisibles par u ;

donc ils ne sont pas premiers entre-eux , ce qui contredit

notre hypothèse , donc p² et q² - p² sont premiers entre-eux .

Puisque p² et q² - p² sont premiers entre-eux alors q² - p² divise 2 ;

donc on a ; q² - p² = 2 ou q² - p² = 1 .

Si q² - p² = 2 , alors (q - p)(q + p) = 2 ,

alors : q - p = 1 et q + p = 2 car on a 0 < p < q ;

donc : 2q = 3 et 2p = 1 ;

donc : q = 3/2 et p = 1/2 ;

donc : p et q ne sont pas des nombres entiers naturels ;

donc ce cas est à écarter .

Si q² - p² = 1 , alors (q - p)(q + p) = 1 ;

donc : q - p = 1 et q + p = 1 ;

donc : 2q = 2 et 2p = 0 ;

donc : q = 1 et p = 0 ;

donc : p et q ne sont pas des nombres entiers naturels ;

premiers entre-eux ;

donc ce cas est aussi à écarter .

Conclusion : q² - p² ne divise pas 2 ;

donc : (2p²)/(q² - p²) est fraction irréductible ;

donc n n'est pas un entier naturel , ce qui contredit l'hypothèse

de l'enoncé ; donc √(n/(n + 2)) n'est pas un nombre rationnel ;

donc √(n/(n + 2)) est pas un nombre irrationnel ;