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Question

Bonsoir , pourriez vous m'aider à répondre aux questions 1,2,3,7 en vous remerciant...

Problème :

On considère un carré ABCD de côté 6 cm. E est un point de [DC], F est un point de [BC] et H un point de [AD] tels AH = DE = CF = x avec x∈[ 0;6 ] . Soit G un point de [AB] tel que AG = 1 cm. On note S (x) l'aire du quadrilatère EFGH en fonction des valeurs de x . Le but de l'exercice est de trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du quadrilatère EFGH est minimale. 1. Déterminer les aires des triangles AGH, BFG, CEF et DEH et en déduire la somme des aires des quatre triangles. 2. En déduire que l'aire du quadrilatère EFGH est S( x)=x 2−4 x+21 . 3. Donner la forme canonique de S (x) en utilisant une identité remarquable. 4. Vérifier votre calcul en utilisant les formules de α et β vues en cours. 5. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction S . 6. Dresser le tableau de variation de la fonction S . 7. En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire du quadrilatère EFGH est minimale. Que vaut cette aire minimale.
Bonsoir , pourriez vous m'aider à répondre aux questions 1,2,3,7 en vous remerciant... Problème : On considère un carré ABCD de côté 6 cm. E est un point de [DC

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1 Réponse

  • Réponse :

    1) déterminer les aires des triangles AGH , BFG , CEF et DEH  et en déduire la somme des aires des 4 triangles

    AGH:  A1 = 1/2 (x * 1) = 1/2) x

    BFG : A2 = 1/2(5(6 - x)) = 15 - (5/2) x

    CEF : A3 = 1/2(x(6 - x)) = 3 x - (1/2) x²

    DEH : A4 = 1/2(x(6 - x)) = 3 x - (1/2) x²

    A = A1+A2+A3+A4 = 1/2) x + 15 - (5/2) x + 2(3 x - 1/2 x)

                                  = - 2 x + 15 + 6 x - x²

                                  = - x² + 4 x + 15

    2) en déduire que l'aire du quadrilatère EFGH est  S(x) = x² - 4 x + 21

           S = 36 - (- x² + 4 x + 15)

              = 36 + x² - 4 x - 15

              = x² - 4 x + 21

    3) donner la forme canonique de S(x) en utilisant une identité remarquable.

     S(x) = x² - 4 x + 21 ⇔ S(x) = x² - 4 x + 21 + 4 - 4

                                               = x² - 4 x + 4  + 17

                                               = (x - 2)² + 17

    4) vérifier votre calcul en utilisant α et β

    α = - b/2a = 4/2 = 2

    β = f(2) = 2² - 4*2 + 21

                = 4 - 8 + 21 = 17

    5) en déduire les coordonnées du sommet de la parabole

            S(2 ; 17)

    6) dresser le tableau de variation de la fonction S

    x       0                              2                           6

    S(x)   21 →→→→→→→→→→→→17 →→→→→→→→→→→ 33

                   décroissante            croissante

    7) en déduire la valeur de x pour laquelle l'aire du quadrilatère EFGH est minimale   c'est  x = 2

    que vaut cette aire  Smin = 17 cm²

    Explications étape par étape

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