Exercice 1: 1) Démontrer que le cube d'un entier pair est pair. 2) Démontrer que le cube d'un entier impair est impair. Quelqu’un peut m’aider s’il vous plaît

Réponse :

bonjour

1 )  soit  2 k un entier pair  

2 k x 2 k x 2 k = 8 k ³ donc pair

2 ) soit  2 k + 1 un entier impair  

( 2 k +  1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 1 )

= ( 4 k² + 2 k +  2 k + 1 ) ( 2 k + 1 )

=  ( 4 k² + 4 k + 1 ) ( 2 k + 1 )

= 8 k ³ + 4 k² + 8 k² + 4 k + 2 k + 1

= 8 k ³ +  12 k² + 6 k + 1   donc impair  

Explications étape par étape

1) Démontrer que le cube d'un entier pair est pair.

un nombre pair est un multiple de 2

Si a est un entier pair il existe un entier k tel que a = 2k

a³ = (2k)³ = 8 k³ = 2 (4 k³)     ;  notons k' l'entier 4k³

a multiple de 2 par l'entier k' est pair

2) Démontrer que le cube d'un entier impair est impair.

un nombre impair est un multiple de 2 + 1

Si a est un entier impair il existe un entier k tel que a = 2k + 1

(2k + 1)³ = (2k + 1)² x (2k + 1)

            = (4k² + 4k + 1)(2k + 1)

            = 8k³ + 4k² +8k²  +4k + 2k + 1

            = 8k³ + 12k² + 6k + 1

           = 2(4k³ + 6k² + 3k) + 1

on note k' l'entier (4k³ + 6k² + 3k)

a³ est de la forme 2k' + 1 c'est un impair

Préciser la parité des nombres suivants sans effectuer les calculs : 14³ , 15³,

101 ³, 124³ x 5³

d'après les résultats précédents

15 et 101 sont impairs, leurs cubes sont impairs

124³ x 5³ = (124 x 5)³

14 est pair, 124 x 5 aussi (un facteur pair)  leurs cubes sont pairs