Bonjour, j'ai beaucoup de mal avec cette question : On considère la fonction f définie par f(x)=x²+2x-8 et dérivable sur R. Soit a un réel. 1.Déterminer, en fon

Réponse : Bonjour,

1) L'équation de la tangente Ta au point d'abscisse a à f est:

[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)\\f'(a)=2a+2\\Donc \; y=(2a+2)(x-a)+a^{2}+2a-8\\y=2ax-2a^{2}+2x-2a+a^{2}+2a-8=(2a+2)x-a^{2}-8[/tex].

Donc l'équation de Ta est [tex]y=(2a+2)x-a^{2}-8[/tex].

2) Il faut étudier le signe de [tex]f(x)-((2a+2)x-a^{2}-8)[/tex]:

[tex]f(x)-((2a+2)x-a^{2}-8)=x^{2}+2x-8-(2a+2)x+a^{2}+8\\f(x)-((2a+2)x-a^{2}-8)=x^{2}+2x-8-2ax-2x+a^{2}+8\\f(x)-((2a+2)x-a^{2}-8)=x^{2}-2ax+a^{2}[/tex].

Il faut donc étudier le signe de [tex]x^{2}-2ax+a^{2}[/tex].

On calcule le discriminant:

[tex]\Delta=(-2a)^{2}-4 \times 1 \times a^{2}=4a^{2}-4a^{2}=0[/tex].

Le discriminant est égale à 0, donc [tex]x^{2}-2ax+a^{2} \geq 0[/tex], pour tout x réel.

On en déduit que pour tout x réel: [tex]f(x)-((2a+2)x-a^{2}-8) \geq 0[/tex], donc [tex]f(x) \geq ((2a+2)x-a^{2}-8)[/tex].

Donc pour tout x réel, la tangente Ta est en dessous de la courbe f.