Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon DM au plus vite. Merci d'avance à ceux qui m'aideront. Objectif: Montrer que le réel √2 n'appartient pas à l'ensemble des r
Question
Objectif: Montrer que le réel √2 n'appartient pas à l'ensemble des rationnels, c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme a/b avec a et b entiers. On dit alors que √2 est irrationnel.
Résultat préliminaire:
Il s'agit de montrer que si le carré d'un nombre est pair, alors ce nombre est forcément pair.
1. Soit n un entier relatif. Développer (2n + 1)².
2. Considérons p un nombre impair. On peut l'écrire sous la forme p= 2n+1 avec n un entier relatif. Montrer que p² est un nombre impair.
3. Soit q un nombre dont le carré est pair. Pourquoi q ne peut-il pas être impair ?
4. Conclure.
Coeur du problème:
On raisonne par l'absurde, en supposant que √2 est un nombre rationnel. On va montrer que cela aboutit à une contradiction.
1. On suppose que √2 est rationnel. Expliquer pourquoi on peut écrire √2 = a/b, avec a et b premiers entre eux (c'est à dire que a et b n'ont aucun diviseur commun).
2. Montrer qu'on a l'égalité a² = 2b².
3. En déduire que a² est pair, puis que a est pair.
4. Justifier qu'on peut écrire a= 2k avec k entier.
5. En remplaçant dans l'égalité a² = 2b², montrer que b² est pair.
6. Que peut-on en conclure sur b ? Montrer que ce résultat est en contradiction avec un résultat précedemment obtenu. Conclure.
L'hypothèse selon laquelle √2 est rationnel conduit, selon une suite de raisonnements logiques, à une contradiction. C'est donc que cette hypothèse était fausse. En conclusion, √2 n'est pas un nombre rationnel.
1 Réponse
-
1. Réponse aymanemaysae
Bonjour ;
1.
(2n + 1)² = (2n)² + 2 x (2n) x 1 + 1² : identité remarquable ;
= 4n² + 4n + 1 .
2.
p² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1
= 4n(n + 1) + 1 = 2(2n(n + 1)) + 1 .
Puisque n est un nombre entier relatif , donc le nombre 2n(n + 1)
est un nombre entier relatif , donc : p² est un nombre entier naturel
impair .
3.
Supposons que q est un nombre entier relatif impair et q² est un nombre
entier naturel pair , donc il existe k un nombre entier relatif tel que :
q = 2k + 1 ; donc : q² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k(k + 1)) + 1 qui est un
nombre entier naturel impair , ce qui est en contradiction avec notre
hypothèse : q² est un nombre entier naturel pair ; donc si q est un nombre
entier relatif dont la carré est un nombre entier naturel pair , alors q est
un nombre entier relatif pair .
4.
Le carré d'un nombre entier relatif pair est un nombre entier naturel pair ;
et le carré d'un nombre entier relatif impair est un nombre entier naturel
impair : le carré d'un nombre entier relatif garde la parité de celui-ci .
1.
Si √2 est un nombre rationnel , alors il existe u et v deux nombre entiers
naturels non nuls tels que : √2 = u/v .
Soit d le PGCD de u et v , donc il existe a et b deux nombres entiers
naturels premiers entre eux , tels que : u = d a et v = d b ;
donc : √2 = u/v = ( d a)/(d b) = a/b .
2.
√2 =a/b ;
donc : a = √2 b ;
donc : a² = 2 b² .
3.
a² = 2 b² donc : a² est pair , et comme on a déjà montré que le carré d'un nombre entier relatif garde la parité de celui-ci , donc "a" est pair .
4.
"a" est un nombre entier relatif pair ; donc c'est un multiple de 2 ;
donc il existe k un nombre entier relatif tel que : a = 2k .
5.
a² = 2 b² ;
donc : (2k)² = 2 b² ;
donc : 4 k² = 2 b² ;
donc : b² = 2 k² ;
donc : b² est un nombre entier naturel pair .
6.
Comme le carré d'un nombre entier relatif garde la parité de celui-ci ,
donc "b" est pair .
On a "a" et "b" deux nombres entiers relatifs pairs ,
donc ils sont divisibles tous les deux par 2 ;
donc ils ont pour diviseurs communs 2 ;
donc ils ne sont pas premiers entre eux , ce qui est en contradiction
avec notre hypothèse : a et b sont premiers entre eux ;
donc l'hypothèse initiale qui postule que √2 est un nombre rationnel
est fausse ; donc √2 est un nombre irrationnel .