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Question

Bonjour tout le monde je suis en terminale S et j’ai un dm de maths à rendre pour vendredi ça fais déjà quelques jours que j’essaie mais je n’arrive pas à faire cet exercice quelqu’un pourrait m’aider ? Je remercie d’avance les personnes qu’il m’aideront bonne fin de journée ;)
Bonjour tout le monde je suis en terminale S et j’ai un dm de maths à rendre pour vendredi ça fais déjà quelques jours que j’essaie mais je n’arrive pas à faire

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1 Réponse

  • Réponse : Bonjour,

    a) D'après l'algorithme, [tex]u_{0}=1[/tex].

    b) Pour tout entier naturel n, [tex]u_{n+1}=\sqrt{3u_{n}+1}[/tex].

    c) Je calcule à la main, mais vous pouvez programmer l'algorithme.

    [tex]u_{0}=1\\u_{1}=\sqrt{3u_{0}+1}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\u_{2}=\sqrt{3u_{1}+1}=\sqrt{3 \times 2+1}=\sqrt{7}\\u_{3}=\sqrt{3u_{2}+1}=\sqrt{3\sqrt{7}+1} \approx 2,99\\u_{4}=\sqrt{3u_{3}+1}=\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{7}+1}+1} \approx 3,16[/tex].

    d) On peut conjecturer que la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.

    e) Démontrons par récurrence que la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante, c'est à dire que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex].

    Initialisation: Pour n=0, [tex]u_{0} \leq u_{1}[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.

    Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, donc que [tex]u_{n+1} \leq u_{n+2}[/tex].

    [tex]u_{n+1}=\sqrt{3u_{n}+1}[/tex], donc [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex], avec [tex]f(x)=\sqrt{3x+1}[/tex].

    Étudions les variations de la fonction f.

    Pour cela, on calcule la fonction dérivée f':

    [tex]f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}[/tex].

    [tex]f'(x) \geq 0[/tex], sur son domaine de définition, donc on a le tableau suivant:

    x             [tex]-\frac{1}{3}[/tex]                                         +∞

    f'(x)                           ║                                     +

    f(x)                            Ф                           (croissante)

    La fonction f est définie sur l'intervalle [tex][-\frac{1}{3};+\infty[[/tex], car la fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[.

    D'après l'hypothèse de récurrence:

    [tex]u_{n} \leq u_{n+1}\\f(u_{n}) \leq f(u_{n+1}) \quad car \; f \; est \; croissante\\u_{n+1} \leq u_{n+2}[/tex].

    La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.  

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