bon soir les amis j'ai besoin d'aide pour résolu cette question :montrer que√2≠Q

Bonsoir,

Supposons que √2 est rationnel, donc ils existent p dans Z et q dans Z privé de 0 tel que √2=p/q.

En élevant au carré, on a q²=p²/2. Comme q est entier, q² est entier également, de même que p².

Si p est impair, q² n'est pas entier donc p est forcement pair. Si p est pair, p² est nécessairement un multiple de 4 donc q² est encore pair i.e q est pair .

Donc ils existent k, k' entiers relatifs tels que q=2k et p=2k'

d'où 4k²=2k'² i.e k²=k'²/2

On retombe sur la même relation que précédemment, et ainsi de suite, d'après le principe de descente infinie, ceci est absurde car q et p ne peuvent pas admettre une infinité de diviseurs.