Bonjours, c’est l’un de mes exercices de dm de math que je n’arrive vraiment pas à résoudre. Merci en avance de votre aides.

Réponse : Bonjour,

1) [tex]f \geq 0[/tex] sur l'intervalle [0;1], comme f est la dérivée de F, alors F est croissante sur l'intervalle [0;1].

[tex]f \leq 0[/tex] sur l'intervalle [1;3], donc F est décroissante sur l'intervalle [1;3].

[tex]f \geq 0[/tex] sur l'intervalle [3;+∞[, donc F est croissante sur l'intervalle [3;+∞[.

De plus, f s'annule en x=1 et x=3, donc F a des tangentes horizontales en x=1 et x=3.

La seule figure qui respecte ces conditions est la figure 3.

2) f est une parabole, donc son équation est du type f(x)=ax²+bx+c, avec a,b,c réels. Comme la parabole est "à l'endroit", alors a >0.

3) Comme f a deux racines qui sont 1 et 3 alors f(x)=a(x-1)(x-3).

De plus, f(0)=3, donc:[tex]f(0)=3 \Leftrightarrow a \times 0^{2}+b \times 0+c=3 \Leftrightarrow c=3[/tex].

On sait que le produit des racines du trinôme est:

[tex]1 \times 3=\frac{3}{a} \Leftrightarrow 3=\frac{3}{a} \Leftrightarrow 3a=3 \Leftrightarrow a=1.[/tex].

On a donc: f(x)=(x-1)(x-3).

4) Étudions le signe de f sur [tex]\mathbb{R}[/tex].

x            -∞                     1                           3                                +∞

x-1                      -          Ф             +                             +

x-3                     -                           -            Ф              +

f(x)=(x-1)(x-3)    +          Ф             -            Ф              +

F(x)             (croissant)     (décroissant)         (croissant)

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

1) La dérivée est < 0 sur [1;3] donc il faut trouver une fonction F qui est décroissante sur [1;3].

La seule qui convienne  est F3.

2)

Cf est une parabole orientée vers les y > 0 dont le sommet  S  a pour coordonnées : S (2;-1)   et qui coupe l'axe des x en 2 points :

x1(1;0) et x2(3;0).

3)

Donc f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-3)

Mais f(0)=3 donc on peut écrire :

a(0-1)(0-3)=3 qui donne :

3a=3 soit a=1.

Donc f(x)=(x-1)(x-3).