Bonsoir pouvez-vous m’aider merci

Réponse:

a) 1- 2/(Un+3) = (Un+3)/(Un+3)-2/(Un+3) = (Un + 1)/(Un + 3) = Un+1

pour tout entier n.

b) Soit la propriété P(n) : 0<Un ≤ 1

initialisation

Uo=1 donc 0<Uo≤1

P(0) est vraie

hérédité :

supposons la propriété vraie pour un entier n.

0< Un ≤ 1

3 < Un+3 ≤ 4

½ ≤ 2/(Un+3) < ⅔

-⅔ < -2/(Un+3) ≤ -½

⅓ < 1-2/(Un + 3) ≤ ½

donc 0 < Un+1 ≤ 1

La propriété est hereditaire

Conclusion: 0 < Un ≤ 1 pour tout entier naturel n.

c. f est definie et derivable sur [0; 1]

f'(x) = [1(x+3)-1(x+1)]/(x+3)²

f'(x)= 2/(x+3)² sur [0;1] donc f est strictement croissante sur [0;1]

ainsi f'(x) est strictement positive sur [0;1] donc f est strictement croissante sur [0;1]

d. On a Un+1 = f(Un)

Soit la propriété P(n): Un+1 < Un

Initialisation Uo = 1 et U1 = ½

U1 < Uo

La propriété est vraie au rang 0

hérédité

Supposons la propriété vraie pour un entier naturel n.

Un+1 < Un

f(Un+1) < f (Un) par croissance de la fonction f sur [0;1]

Un+2 < Un+1

La propriété est héréditaire

Conclusion: Un+1 < Un pour tout entier n, la suite est strictement décroissante.