Soit f la fonction définie sur R par f(x)=-3x' +10 x²-9x+2. 1°) Montrer que la valeur 1 est une racine évidente de f(x). 2) Sachant que f(x) peut s'écrire sous

Réponse :

1) montrer que la valeur 1 est une racine évidente de f(x)

   f(1) = - 3  + 10 - 9 + 2 = - 12 + 12 = 0 ⇒ 1 est une solution évidente de f(x)

2) f(x) = (x - 1)(a x² + b x + c)

         = a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c

         = a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c

a = - 3

b - a = 10 ⇒ b = 10 - 3 = 7

c - b = - 9  

c = - 2  

f(x) = (x - 1)(- 3 x² + 7 x - 2)

3) résoudre l'inéquation  f(x) < 0

- 3 x² + 7 x - 2 = 0

Δ = 49 - 24 = 25 ⇒ √25 = 5

x1 = - 7 + 5)/- 6 = 2/6 = 1/3

x2 = - 7 - 5)/- 6 = 2

x                         - ∞                1/3                    1                 2               + ∞

x - 1                                 -                    -           0        +               +

- 3 x² + 7 x - 2                 -         0         +                    +       0      -

   P                                  +         0         -          0        +       0      -

l'ensemble des solutions est  S = ]1/3 ; 1[U]2 ; + ∞[  

Explications étape par étape