Bonjour, s'il vous plaît aidez moi. C'est pour demain. Merci d'avance :)

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

f(a)=a²

f(b)=b²

[f(a)+f(b)]/2=(a²+b²)/2

f[(a+b)/2]=[(a+b)/2]²=(a²+2ab+b²)/4

Supposons que :

(a²+2ab+b²)/4 > (a²+b²)/2 qui donne :

a²+2ab+b² > 2(a²+b²) soit :

a²+2ab+b²  > 2a²+2b² soit :

a²-2ab+b² < 0 soit :

(a-b)² < 0.

Un carré ne peut pas être < 0 donc notre supposition est aberrante.

Donc :

(a²+2ab+b²)/4 ≤ (a²+b²)/2  soit :

f[(a+b)/2 ] ≤ [f(a)+f(b)/2]

2)

L'ordonnée du milieu d'un segment reliant 2 points de la parabole y=x² est inférieure ou égale à la somme des ordonnées des extrémités de ce segment.

3)

f[(a+b)/2]=[(a+b/2]²

f[(a)+f(b)]/2=(a²+b²)/2

Mais : f[(a+b)/2 ] ≤ [f(a)+f(b)/2]

qui  implique donc :

[(a+b)/2]² ≤ (a²+b²)/2 --->(1)

a et b sont 2 nombres positifs et sur [0;+inf[ , la fct carrée est strictement croissante. Donc l'inégalité (1) implique :

(a+b)/2 ≤ √[(a²+b²)/2]