Bonjour , j’ai besoin d’aide par rapport à cet exo en arithmétique ( spé math term S) Je ne comprends pas les questions 2b à 3 , doit on utiliser la formule du

Bonjour ;

1.

La somme des chiffres de 111 est : 1 + 1 + 1 = 3 qui est

divisible par 3 .

On a bien : 111/3 = 3 x 37 .

2.

a.

u_n = 1 + 1 x 10 + 1 x 10² + .... + 10^(n - 1) ;

c'est la somme des n premiers termes de la suite géométrique (v_n)

qui a pour tout n appartenant à IN , on a : v_n = 10^n .

Cette suite a pour premier terme : v_0 = 1 ; pour raison : q = 10 et pour

somme somme des n premiers termes : (10^n - 1)/(10 - 1) = -10^n - 1)/9 ;

donc : u_n = (10^n - 1)/9 .

b.

(a - b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³ .

c.

10^(3n) - 1 = (10^n)³ - 1³ = (10^n - 1)((10^n)² + 10^n + 1) ;

comme 10^n est un nombre entier naturel ;

donc : ((10^n)² + 10^n + 1) est un nombre entier naturel ;

donc : 10^(3n) - 1 est divisible par 10^n - 1 .

d.

u_(3n) = (10^(3n) - 1)/9 = ((10^n - 1)((10^n)² + 10^n + 1))/9

= (10^n - 1)/9 x ((10^n)² + 10^n + 1)) =  ((10^n)² + 10^n + 1)) u_n ;

donc : u_-3n) est divisible par u_n .

e.

10^(2n) + 10^n + 1 = (10^(2n) - 1) + (10^n - 1) + 2 + 1

= 9 x (10^(2n) - 1)/9 + 9 x (10^n - 1)/9 + 3

= 3 (3 x (10^(2n) - 1)/9 + 3 x (10^n - 1)/9 + 1) ;

donc : 10^(2n) + 10^n + 1 est divisible par 3 car (10^(2n) - 1)/9

et (10^n - 1)/9 sont des nombres entiers naturels .

On peut remarquer aussi que l'écriture décimale de 10^(2n) + 10^n + 1

contient exactement 3 chiffres 1 et les autres sont des 0 ; donc la somme

des chiffres de 10^(2n) + 10^n + 1 est égale à 3 qui est divisible par 3 ;

donc : 10^(2n) + 10^n + 1 est divisible par 3 .

f.

En 2.d on démontré que : u_(3n) = ((10^n)² + 10^n + 1)) u_n

= ((10^(2n) + 10^n + 1)) u_n .

Comme (10^n)² + 10^n + 1) est divisible par 3 alors u_(3n) est

divisible par 3 .

3.

Procédons par récurrence .

Initialisation :

On a : u_3 = u_(3^1) = 111 = 3 x 37 .

Hérédité :

Soit n ∈ IN tel que u_(3^n) est divisible par 3^n .

u_(3 ^(n + 1)) = u_(3 x 3^n) = 3 u_(3^n) .

Comme u_(3^n) est divisible par 3^n ; alors il existe k ∈IN*

tel que u_(3^n) = k x 3^n ; donc : u_(3 ^(n + 1)) = 3 x k x 3^n

= k x 3^(n + 1) ; donc : u_(3 ^(n + 1)) est divisible par 3^(n + 1) .

Conclusion :

Pour tout n ∈ IN* ; u_(3^n) est divisible par 3^n .