Bonjour. J'ai cet exo a faire pour demain mais je suis bloqué pour 1-a= j'ai trouvé que la suite est géométrique de raison = 0.2 B) j'ai trouvé que la limite

Réponse :

U0 = 1    Un+1 = 0.2Un + 0.6

1) a) démontrer que la suite V définie par Vn = Un - 0.75  est géométrique

        Vn+1/Vn = (Un+1 - 0.75)/(Un - 0.75

                       = (0.2Un + 0.6 - 0.75)/(Un - 0.75)

                       = (0.2Un - 0.15)/(Un - 0.75)

                       = 0.2(Un - 0.75)/(Un - 0.75)

                       = 0.2

Vn+1/Vn = 0.2  est une suite géométrique de raison  q = 0.2  et de premier terme V0 = U0 - 0.75 = 1 - 0.75 = 0.25

on peut écrire Vn en fonction de n :   Vn = V0 x qⁿ = 0.25 x (0.2)ⁿ

b) en déduire la limite de Vn

 lim Vn = 0   car lorsque  0 < q < 1    lorsque n augmente  qⁿ diminue

 n→ + ∞  

et lorsque n est très grand   qⁿ  se rapproche de 0

2) a) déterminer Un en fonction de n

      Vn = Un - 0.75 ⇒ Un = Vn + 0.75

Un = 0.25 x (0.2)ⁿ + 0.75

     b) en déduire en fonction de n l'expression

               Sn = U0 + U1 + ...+ Un

                     = (1 + q + q² + ....+ qⁿ ) + 0.75/0.25

                     = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) + 3

                     = (1 - (0.2)ⁿ⁺¹)/(1 - 0.2) + 3

                     = (1 - (0.2)ⁿ⁺¹)/0.8 + 3

                     = 1.25(1 - (0.2)ⁿ⁺¹) + 3

                     = 1.25 - 1.25(0.2)ⁿ⁺¹ + 3

                     = 4.25 - 1.25(0.2)ⁿ⁺¹

c) quelle est la limite de Sn

     lim Sn = 4.25   car  lim (0.2)ⁿ = 0

     n→+∞                       n→+∞

Explications étape par étape