Bonsoir , j'ai un exercice à faire en maths en logique , j'espère que vous pourriez m'aider à comprendre cet exercice et merci d'avance.

1)

quel que soit le réel x, il existe un réel y tel que x² + xy + y² = 0

ou encore

quelle que soit la valeur de x l'équation d'inconnue y a une solution

y² + xy + x² = 0  (x joue le rôle d'un paramètre)

Δ = x² - 4x² = -3x²

ce discriminant est négatif ou nul. L'équation n'a pas de solution (sauf x = 0)

La proposition est fausse

2)

quel que soit le réel y, il existe un réel x inférieur à y

c'est vrai

tout nombre a plus petit que lui

3)

x/(x² + 1) = y/(1 + y²) <=> x(1 + y²) = y(1 + x²)

                               <=>  x + xy² = y + yx²

                               <=> x - y + xy² - yx² = 0

                               <=> (x - y) + xy(y - x) = 0

                               <=> (x - y) -xy(x - y) = 0

                               <=> (x-y) (1 - xy) = 0

par hypothèse x et y sont tous deux supérieurs à 1

x > 1  et y > 1  => xy > 1  et   1 - xy ≠ 0

puisque le produit (x-y) (1 - xy)  est nul et que le facteur (1 - xy) ne l'est pas, c'est que x - y = 0 ou encore x = y

proposition vraie