bonjour s'il vous plait aider moi avec cet exercice on a a>0 et b>0 montrer que [tex]\sqrt{a} + \sqrt{b} \ \textgreater \ \sqrt{a+b}[/tex]

Réponse :

[tex]\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq\sqrt{a+b}    \\ (\sqrt{a} +\sqrt{b} )^{2} \geq (\sqrt{a+b}) ^{2} \\ a+2\sqrt{ab} +b\geq a+b\\ 2\sqrt{ab}\geq  0\\ ce \ qui \ est \ vraie[/tex]

donc [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq\sqrt{a+b[/tex]

Explications étape par étape

règle : deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre

On peut remplacer la comparaison de √a +√b et √(a + b)  par celle de leurs carrés

(√a +√b )² = a + 2√(ab) + b

(√(a + b) )² = a + b

(√a +√b )² - (√(a + b) )² = 2√(ab)

comme a et b sont strictement positifs,  2√(ab) est positif. Cette différence est positive

(√a +√b )² > (√(a + b) )² et par suite

√a +√b > √(a + b)