Bonjour, j’ai besoin d’aide pour cet exo svp : Un est définie par U0=1/2 Et Un+1=Un^2-Un+1 Démontrer par récurrence que pour tout n, 1/2 =< Un < 1 Aide: utilise

Réponse : Bonsoir,

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]\frac{1}{2} \leq U_{n} < 1[/tex].

Initialisation: Pour n=0, [tex]u_{0}=\frac{1}{2}[/tex], donc [tex]\frac{1}{2} \leq U_{0} < 1[/tex]. C'est donc vérifié à l'ordre n=0.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]\frac{1}{2} \leq U_{n} < 1[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, que [tex]\frac{1}{2} \leq U_{n+1} < 1[/tex].

On remarque que [tex]U_{n+1}=f(U_{n})[/tex], avec [tex]f(x)=x^{2}-x+1[/tex].

Étudions les variations de f.

On calcule la dérivée f':

[tex]f'(x)=2x-1[/tex].

On étudie le signe de f'.

[tex]f'(x) \geq 0\\2x-1 \geq 0\\2x \geq 1\\x \geq \frac{1}{2}[/tex].

On obtient le tableau suivant:

x              -∞                              1/2                                     +∞

f'(x)                         -                  Ф                     +

f(x)                 (décroissant)            (croissant)

D'après l'hypothèse de récurrence:

[tex]\frac{1}{2} \leq U_{n} < 1\\f(\frac{1}{2}) \leq f(U_{n}) < f(1) \quad car \; f \; est \; croissante \; sur \; [\frac{1}{2};+\infty[\\f(\frac{1}{2})=\left(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{1-2+4}{4}=\frac{3}{4}[/tex].

[tex]f(1)=1^{2}-1+1=1-1+1=1\\Donc \; \; \frac{3}{4} \leq U_{n+1} < 1\\Par \; suite \; \; \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \leq U_{n+1} < 1[/tex].

La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]\frac{1}{2} \leq U_{n} < 1[/tex].