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Question

Bonjour, j'ai un dm à terminer pour Lundi et je bute sur cet exercice, j'aimerais pouvoir avoir un peu d'aide. Voici l'énoncé :


ABCD est un rectangle tel que AD=a et AB=2 a où a est nombre positif.

Le cercle C de centre F et de rayon [FE] est tangent en H au côté [AD] et en G au côté

[DC].

On admet que G et H sont les projetés orthogonaux respectivement de F sur [DC] et F sur [AD]. Le demi-cercle de diamètre [AB] est tangent au côté [DC] et au cercleC.

Lespoints D, F , E et O sontalignés.

On note le R le rayon du cercle C.


PARTIE A :

1) Exprimer DO en fonction de a.

2) Démontrer que le quadrilatère DHFG est un carré.

3) Exprimer DF en fonction de R.

4) Justifier que R √2+ R+ a=a√2

5) Exprimer R en fonction de a.


Merci à ceux ou celles qui s'auront trouver les mots justes pour me faire comprendre cet exercice ;)
Bonjour, j'ai un dm à terminer pour Lundi et je bute sur cet exercice, j'aimerais pouvoir avoir un peu d'aide. Voici l'énoncé : ABCD est un rectangle tel que AD

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1 Réponse

  • Bonjour;

    1.

    On a : AO = AB/2 = (2a)/2 = a .

    ABCD est rectangle , donc le triangle ADO est rectangle en A ;

    donc en appliquant le théorème de Pythagore ,

    on a : DO² = AD² + AO²= a² + a² = 2a² ;

    donc : DO = √2 a .

    2.

    G et H sont les projections orthogonales de F respectivement

    sur les droites (DC) et (DA) , donc les droites (FG) et (DC) sont

    perpendiculaires ainsi que le droites (HF) et (DA) .

    ABCD est un rectangle , donc les droites (DC) et (HD) sont

    perpendiculaires , donc les droites (FG) et (HD) sont perpendiculaires

    à la droite (DC) , donc les droites (FG) et (HD) sont parallèles .

    De même on démontre que les droites (DG) et (HF) sont parallèles ,

    donc le quadrilatère DHFG est un parallèlogramme .

    On a par hypothèse que les angles HDG , DGF et FHD sont des angles

    droits , donc l'angle HFG est un angle droit , donc DHFG est un carré .

    3.

    Le triangle FHD est rectangle en H , donc en appliquant le théorème

    de Pythagore , on a : DF² = HF² + HD² = 2 HF² = 2 R² ;

    donc : DF = √2 R .

    4.

    [OE] est un rayon du demi-cercle , donc on a : OE = OA = a ;

    donc : DO = DF + FE + OE ;

    donc : √2 a = √2 R + R + a .

    5.

    On a : √2 a = √2 R + R + a ;

    donc : √2 a - a = √2 R + R ;

    donc : (√2 - 1)a = (√2 + 1)R ;

    donc : R = (√2 - 1)/(√2 + 1) a ;

    donc : R = (√2 - 1)²/((√2 - 1)(√2 + 1)) a ;

    donc : R = (√2 - 1)²/(2 - 1) a ;

    donc : R = (2 - 2√2 + 1) a ;

    donc : R = (3 - 2√2) a .

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