bonjour, je commence le chapitre sur la récurrence et je dois donc faire des exercices mais je n'arrive pas celui-ci si quelqu'un peut m'aider svp merci ​

Réponse : Bonjour

Initialisation: Pour n=1, [tex]\sum_{k=1}^{1} k^{2}=1^{2}=1\\\frac{1(1+1)(2 \times 1+1)}{6}=\frac{1 \times 2 \times 3}{6}=\frac{6}{6}=1[/tex]/

Donc la propriété est vérifiée pour n=1.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, et montrons là à l'ordre n+1.

Il faut donc montrer que [tex]\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/tex].

D'après l'hypothèse de récurrence:

[tex]\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex].

Donc:

[tex]\sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}+(n+1)^{2}\\\sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}\\\sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}=\frac{(n+1)(2n^{2}+n+6n+6)}{6}\\\sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/tex].

La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout [tex]n \geq 1[/tex], [tex]\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex].

Soit P(n) la propriété que l'on veut démontrer

P(n) : 1² + 2² + 3² + .... + n² = n(n+1)(2n+ 1) / 6

Le raisonnement par récurrence comporte 3 parties

1) initialisation :

on contrôle cette égalité pour n = 1

P(1) : 1² = 1(1+1)(2 +1) /6

       1 = (2 x 3) / 6

1 = 1

donc la propriété est vraie pour 1    P(1) est vraie

2) hérédité

on démontre que si P(n) est vraie alors P(n+1) est aussi vraie

hypothèse :

1² + 2² + 3² + .... + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6

conclusion: (on remplace n par n+1)

1² + 2² + 3² + ...... + n² + (n+1)² = (n + 1)(n + 2)[2(n+ 1) + 1] /6

ce qui peut s'écrire

1² + 2² + 3² +...... + n² + (n + 1)² = (n + 1)(n +2)(2n+3) /6   ligne a

                          (1)                                (2)

on va montrer que (1) = (2)

démonstration

puisque 1² + 2² + 3² + .... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

   1² + 2² + 3² +...... + n² + (n + 1)² = [ 1² + 2² + 3² +...... + n² ] + (n + 1)²

on remplace la partie entre crochets par n(n + 1)(2n + 1)/6

                                                     =  n(n + 1)(2n + 1) /6   +   (n+ 1)²

     (n+1) en facteur                       = (n + 1)[n(2n + 1)/6 + (n + 1)]

       dén.   6                                  = (n+1)[n (2n + 1)/6 + 6(n + 1)/6)] ligne b

 il reste à montrer que     [n (2n + 1)/6 + 6(n + 1)/6)] ligne b est égal à

  (n +2)(2n+3) /6      ligne a    

n(2n + 1) + 6(n + 6) = 2n² + n + 6n + 6 = 2n² + 7n = 6

(n + 2)(2n + 3) = 2n² + 4n +3n + 6 = 2n² + 7n + 6

il y a égalité on a fait la démonstration

1² + 2² + 3² +...... + n² + (n + 1)² = (n + 1)(n +2)(2n+3) /6

3) conclusion

Puisque P(1) est vraie et que P(n) est héréditaire alors P(n) est vrai pour tout n  (n ≥ 1)